EXPOSICIÓN No. 2 y No. 3

Proposiciones y valores de Verdad

• Proposición: es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad, que pueden ser: verdadero (V) o falso (F), pero no ambos valores a la vez. A las proposiciones se les representa por las letras del alfabeto  desde la p, es decir p, r, s, t, ... etc. 

EJEMPLO:

P. La Universidad Rafael Landivar está en la zona 16.          

          VALOR DE VERDAD (V)

R. Un quetzal es equivalente a 50 centavos.

                                                                 VALOR DE VERDAD (F)

•  Expresiones No Proposicionales: son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad.

EJEMPLO:

-¿Cómo te llamas?

-¡Salvemos el planeta!

Enunciado Abierto: Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z, ... ,  etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados abiertos.

Ejemplos:

- Ella es estudiante de contabilidad

- x – 3 > 7

- 5x + 3y = 2

• Clasificación de las Proposiciones:

1.Proposición Simple:Cuando en ella  no existe conectivo u operador lógico alguno.

Ejemplos:

         p:  El cuadrado tiene 5 lados                q:  3 x 4 = 12

         r:  9 es múltiplo de 3

2. Proposición Compuesta:cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u operador lógico.

Ejemplos:

         - ~ p: 12 - 5 ≠ 9  

         - q Ù p: Rosario jugó, aunque estuvo                  lesionado.

3. Conectivos Lógicos: 

LENGUAJE COLOQUIAL	LENGUAJE SIMBÓLICO	NOMBRE DEL OPERADOR
no	~	La negación
y	Ù	La conjunción
o	Ú	La disyunción inclusiva
Si ... entonces ...	®	La condicional
... sí y  sólo sí ...	«	La bicondicional

4. Negación: La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.

p	~ p
V	F
F	V

Ejemplo:

Sea la proposición:   

p: 4 x 5 = 20           (V)

Su negación es:       

~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20   (F)

o se puede escribir: 

~ p: 4 x 5 ≠ 20         (F)

Simbólicamente: V( ~ p) = F

5. Conjunción:Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ù q”  y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.

p      q	p Ù q
V     V	V
V     F	F
F     V	F
F     F	F

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p:7 es un número par     (F)

q:7  es menor que 5      (F)

p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5                        (F)

Simbólicamente: V(p Ù q) = F

6. Disyunción: Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú  q”  y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.

p      q	p Ú q
V     V	V
V     F	V
F     V	V
F     F	F

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

p:4 < 7             (V)

q:4 = 7             (F)

p v q: 4 < 7 ó 4 = 7    (V)

Simbólicamente: V(p v q) = V

7. Condicional o Implicación: Dadas dos proposiciones p, q se escribe“p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero  y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero.

( p = antecedente   y    q = consecuente)

p      q	p ® q
V     V	V
V     F	F
F     V	V
F     F	V

Ejemplo:

p ® q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: 3 es un número primo     (V)

q: 31 es un número par      (F)

p ® q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número   par  (F)

Simbólicamente: V(p ® q) = F

8. Variaciones de la Condicional: un condicional se representa de la siguiente manera → y se lee “si.. entonces” y esta va tener únicamente valor Falso cuando su antecedente sea verdadero y su consecuente falso por lo contrario serán verdaderas.

9. Bicondicional o doble implicación:Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p « q” y se  lee “p si y  solo si q”, es  verdadero cuando los valores de verdad son  iguales y es falso cuando los dos valores de  verdad son diferentes. 

Ejemplo: 

Sean las proposiciones:

p: 3 < 7                    (V)

q: 3 + 5 < 7 + 5        (V)

p « q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5  (V)

Simbólicamente: V(p « q) = V

10. Leyes de Morgan:

11. Tautologia, Contradicciones y contingencias: